Метод Гаусса - решение систем уравнений

Чем сложнее задача, тем больше оснований, сейчас же приступить к ней

Войнич Э.Л. Овод

Выполним лабораторные работы в Excel, Word, PowerPoint
Выполним работы в Maple, Mathcad, Mathematica, Statistica
Поможем выполнить работы по математике школьникам и студентам
Заказ курсовых и рефератов по истории, праву, физике, психологии и др.

Для просмотра решения систем необходимо ознакомиться с правилами записи математических выражений.

В курсе линейной алгебры студенты изучают метод Гаусса - метод, который позволяет решить систему линейных алгебраических уравнений, сокращённо СЛАУ, ещё короче - СЛУ.

Системы решаются не только в курсе линейной алгебры, но ещё и в других разделах математики. Например, при нахождении неопределенного интеграла от дробно-рациональной функции (математический анализ), при нахождении точки пересечения трех плоскостей (аналитическая геометрия) и так далее.

Мы разработали уникальный алгоритм (программу), который, в режиме онлайн, позволяет выводить подробное решение систем методом Гаусса.

При решении систем с бесконечным числом решений, программа немного не доводит решение до конца. Поэтому несколько строчек приходиться дописывать самим пользователям. О том, что и как нужно дописывать, мы конечно же напишем. Также есть ограничения на количество уравнений и неизвестных. Мы решили ограничиться матрицами семь на семь, то есть максимальное число уравнений 7 и неизвестных - 7. Ещё одним ограничением является то, что коэффициенты системы должны быть целыми числами. Это ограничение легко обойти, если обе части всех уравнений умножить на 10^k, где k - максимальное число знаков после дробного разделителя. Например, систему `{(x-1.2y=0","), (0.12x+145.123y=1):}` можно записать в виде `{(10x-12y=0","), (120x+145123y=1000"."):}` Обе части первого уравнения мы умножили на 10, второго - на 1000. Также ограничение накладывается на количество цифр в коэффициентах системы. Максимальное количество цифр в числе равно 6. По умолчанию в качестве переменных системы выступает последовательность `x_i`: `x_1`, `x_2`, ..., `x_n`, то есть икс первое, икс второе и так далее.

Метод Гаусса заключается в обнулении элементов матрицы системы под главной диагональю и над главной диагональю. Метод Гаусса - не единственный способ решения СЛУ. На сайте "Математика автоматом" Вы найдете и другие методы. Методом Гаусса вычисляются определители, находится ранг матрицы. Также метод Гаусса применяется для нахождения обратной матрицы. Перечисленные применения метода Гаусса реализованы либо на упомянутом сайте "Математика автоматом" в разделе "Калькулятор", либо присутствуют (или будут присутствовать) на нашем сайте "Решение задач по математике".

Метод Гаусса основывается на свойствах матриц. Например, перестановка строк, линейная комбинация строк матрицы системы. Другими словами в методе Гаусса выполняются элементарные преобразования. Большим плюсом нашей онлайн программы "Метод Гаусса" является подробный вывод решения системы (СЛАУ). Например, выводятся комментарии ко всем промежуточным вычислениям. К примеру: "Из строки 2, умноженной на число 3, вычитается строка 4, умноженная на число 2". Данная реализация метода Гаусса позволит не только сэкономить время на решении СЛУ, но и научиться самому решать их. Даже если Вы уже неплохо используете метод Гаусса, то всё равно стоит сэкономить время или же проверить правильность своего решения. При "ручном" решении СЛУ методом Гаусса могут быть допущены арифметические ошибки, но наша программа, конечно же, их не допускает. Если Вы отлично усвоили правила записи математических выражений (ссылка дана в начале статьи), то решать системы методом Гаусса с помощью нашей программы можно и на мобильных устройствах.

Системы линейных алгебраических уравнений решают не только в математике, но и в других предметах, например, физике. Поэтому наша программа "Метод Гаусса" поможет сэкономить время на решении задач не только по математике, но и другим предметам.

*** - основная матрица системы, элементы отделяются пробелами, максимальная длина одного элемента - 6 символов (цифр), элементы - целые числа. В качестве примера введены элементы основной матрицы системы с двумя уравнениями и двумя неизвестными `{(x+2y=5), (3x+4y=6.):}` То есть 1 и 2 - это коэффициенты перед переменными в первом уравнении, 3 и 4 - втором уравнении, а 5 и 6 - свободные коэффициенты. Другими словами, элементы системы нужно выписывать слева направо и сверху вниз. Если какой-то неизвестной в уравнении нет, то коэффициент равен нулю. Например, системе `{(x_1+2x_3=5), (3x_2+4x_3=1):}` будет соответствовать строка 1 0 2 0 3 4 для основной матрицы и строка 5 1 для столбца свободных коэффициентов.

**** - столбец свободных коэффициентов (числа после знака равно). Записываем через пробел. Максимальная длина одного числа - 6 символов. Если оставить поле пустым, то программа присвоит свободным коэффициентам нули, то есть система будет однородной.

***** - имена переменных системы, вводятся через пробел, максимальная длина одной переменной 8 символов; если это поле пусто или количество переменных не соответствует количеству столбцов, то по умолчанию будет выведена последовательность `x_1`, `x_2`, ..., `x_n`. Примеры: греческие буквы - нужно вводить alpha beta gamma delta ..., прописные буквы - A B C D ..., строчные - a b c d ..., неизвестные с нижним индексом - y_1 y_2 y_3 ..., сложные выражения - e^x e^{2x} sinx cosx ... Например, требуется решить систему `{(sinx+2cosx=-2), (-cosx+3sinx=1","):}` тогда для этой системы основная матрица имеет вид `((1, 2), (3, -1))`, столбец свободных коэффициентов `((-2), (1))` (то есть в поле "Матрица" вводится последовательность чисел 1 2 3 -1, в поле "Переменные" - sinx cosx, а в поле "Свободные" - числа 5 1), а решение будет, например, таким `{(cosx=-1), (sinx=0","):}` после чего пользователь "вручную" доводит решение до конца.

Решение систем методом Гаусса