Примеры решения систем уравнений методом Гаусса

Чем сложнее задача, тем больше оснований, сейчас же приступить к ней

Войнич Э.Л. Овод

Выполним лабораторные работы в Excel, Word, PowerPoint
Выполним работы в Maple, Mathcad, Mathematica, Statistica
Поможем выполнить работы по математике школьникам и студентам
Заказ курсовых и рефератов по истории, праву, физике, психологии и др.

Для просмотра страницы необходимо ознакомиться с записью выражений по линейной алгебре и формул по математике на нашем сайте. Например, запись stackrel"(1)"~ эквивалентна тому, что пишем над волнистой линией (тильдой) единицу в скобках.

Для выполнения Вашего задания на решение системы с помощью нашего онлайн калькулятора, перейдите на страницу "Метод Гаусса". Для просмотра других примеров, перейдите по ссылкам "Пример 2", "Пример 3". Рассмотрим пример.

Задание. Методом Гаусса найти общее решение системы уравнений `{(x_1 + x_3 + x_4 + x_5 = 0), (x_2 + x_3 + x_4 + x_6 = 0), (x_2 + (-x_3) + 2 · x_4 + x_7 = 0), (x_2 + 2 · x_3 = 1):}`

Преобразуем расширенную матрицу `((1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) , (0, 1, -1, 2, 0, 0, 1, 0) , (0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1) )` системы с помощью элементарных преобразований.

`((1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) , (0, 1, -1, 2, 0, 0, 1, 0) , (0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1) )` `stackrel"(1)"~` `((1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, -2, 1, 0, -1, 1, 0) , (0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1) )` `stackrel"(2)"~` `((1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, -2, 1, 0, -1, 1, 0) , (0, 0, 1, -1, 0, -1, 0, 1) )` `stackrel"(3)"~` `((1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) , (0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) , (0, 0, -2, 1, 0, -1, 1, 0) , (0, 0, 0, -1, 0, -3, 1, 2) )`

(1) вычитаем из строки 3, умноженную на число 1, строку 2, умноженную на число 1
(2) вычитаем из строки 4, умноженную на число 1, строку 2, умноженную на число 1
(3) прибавляем к строке 4, умноженную на число 2, строку 3, умноженную на число 1

`((-1, 0, 0, 0, 0, -3, 1, 2) , (1, -2, 0, 0, 0, -1, 1, 0) , (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0) )` `stackrel"(1)"~` `((-1, 0, 0, 0, 0, -3, 1, 2) , (0, -2, 0, 0, 0, -4, 2, 2) , (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0) )` `stackrel"(2)"~` `((-1, 0, 0, 0, 0, -3, 1, 2) , (0, -2, 0, 0, 0, -4, 2, 2) , (0, 1, 1, 0, 0, -2, 1, 2) , (1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0) )` `stackrel"(3)"~` `((-1, 0, 0, 0, 0, -3, 1, 2) , (0, -2, 0, 0, 0, -4, 2, 2) , (0, 1, 1, 0, 0, -2, 1, 2) , (0, 1, 0, 1, 1, -3, 1, 2) )` `stackrel"(4)"~` `((-1, 0, 0, 0, 0, -3, 1, 2) , (0, -2, 0, 0, 0, -4, 2, 2) , (0, 0, 2, 0, 0, -8, 4, 6) , (0, 1, 0, 1, 1, -3, 1, 2) )` `stackrel"(5)"~` `((-1, 0, 0, 0, 0, -3, 1, 2) , (0, -2, 0, 0, 0, -4, 2, 2) , (0, 0, 2, 0, 0, -8, 4, 6) , (0, 0, 0, 2, 2, -10, 4, 6) )`

(1) прибавляем к строке 2, умноженную на число 1, строку 1, умноженную на число 1
(2) прибавляем к строке 3, умноженную на число 1, строку 1, умноженную на число 1
(3) прибавляем к строке 4, умноженную на число 1, строку 1, умноженную на число 1
(4) прибавляем к строке 3, умноженную на число 2, строку 2, умноженную на число 1
(5) прибавляем к строке 4, умноженную на число 2, строку 2, умноженную на число 1

По матрице `((2, 0, 0, 0, 2, -10, 4, 6) , (0, 2, 0, 0, 0, -8, 4, 6) , (0, 0, -2, 0, 0, -4, 2, 2) , (0, 0, 0, -1, 0, -3, 1, 2) )` восстанавливаем систему уравнений `{(2 · x_1 + 2 · x_5 + (-10) · x_6 + 4 · x_7 = 6), (2 · x_2 + (-8) · x_6 + 4 · x_7 = 6), ((-2) · x_3 + (-4) · x_6 + 2 · x_7 = 2), ((-x_4) + (-3) · x_6 + x_7 = 2):}`

Делаем так, чтобы коэффициенты перед базисными переменными были равны единице. Для этого делим каждую строку на соответствующий ей коэффициент перед базисной переменной. По матрице `((1, 0, 0, 0, 1, -5, 2, 3) , (0, 1, 0, 0, 0, -4, 2, 3) , (0, 0, 1, 0, 0, 2, -1, -1) , (0, 0, 0, 1, 0, 3, -1, -2) )` восстанавливаем систему уравнений `{(x_1 + x_5 + (-5) · x_6 + 2 · x_7 = 3), (x_2 + (-4) · x_6 + 2 · x_7 = 3), (x_3 + 2 · x_6 + (-x_7) = -1), (x_4 + 3 · x_6 + (-x_7) = -2):}`

Выражения (переменные, слагаемые), которые стоят на первом месте в каждом уравнении, являются базисными, остальные свободными. Если в левой части каждого уравнения есть свободные переменные, то переносим их в правую часть. Полученное решение будет является общим.

`{(x_1 = -(x_5 + (-5) · x_6 + 2 · x_7)+3), (x_2 = -((-4) · x_6 + 2 · x_7)+3), (x_3 = -(2 · x_6 + (-x_7))+(-1)), (x_4 = -(3 · x_6 + (-x_7))+(-2)):}`

Как Вы видите, при нахождении необходимо проделать много вычислений, чтобы добиться результата. Поэтому, для экономии времени при выполнении заданий, мы рекомендуем Вам воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Также, используя наш калькулятор, исключается возможность допуска Вами ошибок в ходе нахождения неизвестных задания "вручную".

Примеры решения систем - метод Гаусса